Косинус одного из углов прямоугольного треугольника равен 0,7. В каком отношении делит его гипотенузу высота , проведенная из прямого угла?

Задача касается прямоугольного треугольника, в котором дано значение косинуса одного из углов, и нужно найти отношение, в котором высота, проведенная из прямого угла, делит гипотенузу. Для решения используем несколько геометрических фактов.

1. Дано: Косинус одного из углов прямоугольного треугольника равен 0,7. Пусть это угол $\alpha$, тогда:

   $$\cos(\alpha) = 0,7.$$

   В прямоугольном треугольнике с углом $\alpha$, гипотенуза $c$, прилежащий катет $a$ и противолежащий катет $b$ связаны следующим образом:

   $$\cos(\alpha) = \frac{a}{c} = 0,7.$$

   Таким образом, длина катета $a$ составляет 70% от длины гипотенузы $c$.

2. Используем теорему о высоте, проведенной из прямого угла: Высота, проведенная из прямого угла, делит гипотенузу на два отрезка, которые пропорциональны квадратам прилежащих катетов. Обозначим длины этих отрезков как $d_1$ и $d_2$. Теорема гласит, что:

   $$\frac{d_1}{d_2} = \frac{a^2}{b^2}.$$

   Нам нужно найти отношение этих отрезков гипотенузы.

3. Найдем длины катетов. Пусть длина гипотенузы равна $c$. Из условия $\cos(\alpha) = 0,7$, имеем:

   $$a = 0,7c.$$

   Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника:

   $$a^2 + b^2 = c^2.$$

   Подставляем $a = 0,7c$:

   $$(0,7c)^2 + b^2 = c^2,$$ $$0,49c^2 + b^2 = c^2,$$ $$b^2 = c^2 - 0,49c^2 = 0,51c^2,$$ $$b = \sqrt{0,51}c.$$

4. Найдем отношение $\frac{a^2}{b^2}$: Теперь, зная выражения для $a$ и $b$, можем найти искомое отношение:

   $$\frac{a^2}{b^2} = \frac{(0,7c)^2}{(\sqrt{0,51}c)^2} = \frac{0,49c^2}{0,51c^2} = \frac{0,49}{0,51}.$$

   Это отношение приближенно равно:

   $$\frac{0,49}{0,51} \approx 0,96.$$

Таким образом, отношение $\frac{d_1}{d_2}$, в котором высота делит гипотенузу, примерно равно 0,96.