Прямые a и b пересекаются. Докажите, что существует плоскость , содержащая только одну из двух данных прямых. Сколько существует таких плоскостей?

Для доказательства задачи нужно опираться на геометрические свойства прямых и плоскостей в трёхмерном пространстве.

Условие

Даны две пересекающиеся прямые $a$ и $b$. Требуется доказать, что существует плоскость, которая содержит только одну из них, и определить, сколько таких плоскостей существует.

Доказательство

1. Определение пересечения прямых: Две прямые $a$ и $b$ пересекаются, если:

   • У них есть ровно одна общая точка $O$.
   • Они лежат в одной плоскости.

   Поэтому автоматически можно заключить, что прямые $a$ и $b$ содержатся в одной общей плоскости $\alpha$. Но задача просит найти другие плоскости, содержащие только одну из прямых.

2. Плоскости, содержащие только одну прямую:

   • Рассмотрим прямую $a$. Для построения плоскости, содержащей только $a$, достаточно провести её через прямую $a$ и любую точку, не лежащую на прямой $b$.
   • Аналогично, для прямой $b$, плоскость строится через прямую $b$ и любую точку, не лежащую на прямой $a$.

3. Сколько таких плоскостей существует?

   • Плоскостей, содержащих только $a$, бесконечно много, так как можно выбрать любую точку вне $b$ для их построения.
   • Аналогично, для $b$ тоже существует бесконечное множество плоскостей.

4. Геометрическое обоснование: Когда мы исключаем прямую $b$ при построении плоскостей для $a$ (и наоборот), это не ограничивает число вариантов. Трёхмерное пространство предоставляет бесконечно много направлений, из которых можно выбрать точку, не принадлежащую одной из прямых.

Ответ

1. Существует бесконечно много плоскостей, содержащих только прямую $a$.
2. Существует бесконечно много плоскостей, содержащих только прямую $b$.
3. Общее множество таких плоскостей тоже бесконечно, так как каждая группа рассматривается независимо.