Высота прямоугольного треугольника проведённая из вершины прямого угла равна 48 см а проекция одного из катетов на гипотенузу 36 см. Найдите стороны данного треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором высота, проведённая из вершины прямого угла на гипотенузу, равна $h = 48$ см. Проекция одного из катетов на гипотенузу равна $p = 36$ см. Нам нужно найти стороны треугольника.

Обозначим:

• $a$ и $b$ — катеты,
• $c$ — гипотенузу.

Основные формулы и рассуждения:

1. Формула для высоты: Высота $h$, проведённая из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника. Поэтому:

   $$h^2 = p \cdot q,$$

   где $q$ — вторая проекция второго катета на гипотенузу. Здесь $p$ и $q$ связаны с гипотенузой $c$ соотношением:

   $$c = p + q.$$

2. Найдем $q$: Из формулы $h^2 = p \cdot q$:

   $$q = \frac{h^2}{p}.$$

   Подставляем значения:

   $$q = \frac{48^2}{36} = \frac{2304}{36} = 64 \, \text{см}.$$

3. Найдем гипотенузу $c$:

   $$c = p + q = 36 + 64 = 100 \, \text{см}.$$

4. Соотношения катетов и гипотенузы: По теореме Пифагора:

   $$a^2 + b^2 = c^2.$$

   Для сторон треугольника с высотой $h$ существует дополнительное соотношение:

   $$a^2 = p \cdot c, \quad b^2 = q \cdot c.$$

5. Найдем $a$:

   $$a^2 = p \cdot c = 36 \cdot 100 = 3600.$$

   Следовательно:

   $$a = \sqrt{3600} = 60 \, \text{см}.$$

6. Найдем $b$:

   $$b^2 = q \cdot c = 64 \cdot 100 = 6400.$$

   Следовательно:

   $$b = \sqrt{6400} = 80 \, \text{см}.$$

Ответ:

Катеты треугольника равны $60 \, \text{см}$ и $80 \, \text{см}$, а гипотенуза равна $100 \, \text{см}$.