Средняя линия трапеции делится ее диагональю на части, равные 2 см и 5 см. Вычислите углы трапеции, если каждая из ее боковых сторон равна 6 см.

Чтобы вычислить углы трапеции, разберёмся с её геометрическими свойствами и применим тригонометрию.

Дано:

1. Средняя линия трапеции делится её диагональю на части 2 см и 5 см.
2. Каждая из боковых сторон трапеции равна 6 см.

Обозначим:

• Верхнее основание трапеции — $a$,
• Нижнее основание трапеции — $b$,
• Средняя линия трапеции — $m = \frac{a + b}{2}$,
• Боковые стороны — $c = 6$ см,
• Длины отрезков, на которые диагональ делит среднюю линию, — 2 см и 5 см.

1. Средняя линия трапеции и пропорциональные треугольники

Диагонали трапеции делят её на 4 треугольника, причём два из них (при основании) являются подобными. Так как средняя линия делится на 2 см и 5 см, это деление пропорционально основаниям трапеции:

Отсюда можно записать, что:

2. Определение средней линии

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

Подставляем $b = \frac{5}{2}a$:

3. Определение углов трапеции

Боковые стороны трапеции равны $c = 6$, и трапеция обладает симметрией. Найдём углы при помощи тригонометрии. Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные высотой $h$, средней линией $m$, боковой стороной $c$, и половинами разности оснований.

Определение высоты:

Прямоугольный треугольник, образуемый боковой стороной $c$, высотой $h$ и половиной основания $x = \frac{b - a}{2}$, позволяет применить теорему Пифагора:

Подставим $x = \frac{b - a}{2} = \frac{\frac{5}{2}a - a}{2} = \frac{3}{4}a$:

Так как $c = 6$:

Углы при основании:

Углы трапеции можно выразить через тангенсы, используя соотношение:

Подставим $h$ из теоремы Пифагора:

Аналогично для другого угла:

Угол при меньшем основании ($a$) определяется симметрично:

Итог:

1. Основания связаны как $a : b = 2 : 5$