в треугольнике abc угол c равен 90 AC=5 cosA=1/корень из 10 найдите bc

Рассмотрим задачу:

Дан прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, где угол $C = 90^\circ$. Известно, что $AC = 5$ и $\cos A = \frac{1}{\sqrt{10}}$. Требуется найти длину $BC$.

Решение:

1. Используем определение косинуса:
   Для угла $A$, $\cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$.
   Здесь прилежащий катет — это $AC$, а гипотенуза — это $AB$.
   Подставим значения:

   $$\cos A = \frac{AC}{AB} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{5}{AB}.$$

   Найдём $AB$:

   $$AB = \frac{5}{\frac{1}{\sqrt{10}}} = 5 \cdot \sqrt{10}.$$

2. Используем теорему Пифагора:
   В прямоугольном треугольнике:

   $$AB^2 = AC^2 + BC^2.$$

   Подставляем известные значения:

   $$(5\sqrt{10})^2 = 5^2 + BC^2.$$

   Вычислим:

   $$50 \cdot 10 = 25 + BC^2 \quad \Rightarrow \quad 500 = 25 + BC^2.$$

   Упростим:

   $$BC^2 = 500 - 25 = 475.$$

3. Найдём $BC$:

   $$BC = \sqrt{475}.$$

   Разложим $475$ на множители:

   $$475 = 25 \cdot 19 \quad \Rightarrow \quad BC = \sqrt{25 \cdot 19} = 5\sqrt{19}.$$

Ответ:

Длина $BC = 5\sqrt{19}$.