В тре­уголь­ни­ке АВС угол С равен 90°, CH — вы­со­та, BC=3, sinA=1/6 . Най­ди­те АН.

Для решения задачи рассмотрим шаги и используем свойства прямоугольного треугольника.

Дано:

1. $\angle C = 90^\circ$ (треугольник прямоугольный).
2. $BC = 3$ (катет).
3. $\sin A = \frac{1}{6}$ (синус угла $A$).
4. $CH$ — высота, проведённая из вершины $C$ на гипотенузу $AB$.
5. Требуется найти длину $AH$.

Решение:

1. Найдём гипотенузу $AB$ через синус:

По определению синуса:

Для угла $A$, противолежащим катетом является $BC$, а гипотенуза — $AB$. Подставляем известные значения:

Отсюда:

2. Найдём катет $AC$ через теорему Пифагора:

В прямоугольном треугольнике выполняется:

Подставляем известные значения:

3. Используем формулу для высоты $CH$:

Высота, опущенная из прямого угла на гипотенузу, выражается как:

Подставляем значения:

4. Связь между $AH$, $BH$ и гипотенузой $AB$:

Высота делит гипотенузу на два отрезка: $AH$ и $BH$, причём выполняется:

Также известно:

Обозначим $AH = x$, тогда $BH = AB - AH = 18 - x$. Подставляем в формулу:

Умножим на 4, чтобы избавиться от дробей:

5. Решим квадратное уравнение:

Разделим на 1 (для удобства):