Дан треугольник ABC, где угол B = 90°. Внешний угол при вершине А равен 120°, сторона АВ равна 7 см. Чему равна длина гипотенузы?

Задача заключается в нахождении длины гипотенузы треугольника ABC, где угол B равен 90°, а угол при вершине A равен 120°, при этом длина стороны AB (катет) равна 7 см.

Шаг 1: Разбор углов

В треугольнике ABC угол B равен 90°, то есть это прямоугольный треугольник. Угол при вершине A равен 120°. Важно заметить, что внешний угол при вершине A равен 120°. Внешний угол — это угол, который образуется между продолжением одной из сторон треугольника и самой стороной, от которой этот угол отходит.

Так как внешний угол при вершине A равен 120°, то внутренний угол при вершине A будет равен:

Следовательно, угол при вершине A (внутренний угол) равен 60°.

Шаг 2: Рассмотрение углов в треугольнике

Так как угол B равен 90°, а угол A равен 60°, то угол C (вершина треугольника) можно найти по формуле для суммы углов в треугольнике:

Подставляем известные значения:

Таким образом, угол C равен 30°.

Шаг 3: Применение теоремы синусов

Теперь, зная все углы треугольника, можно использовать теорему синусов для нахождения гипотенузы. В треугольнике ABC:

Где:

• AB — катет, равный 7 см.
• угол C = 30°.
• угол A = 60°.
• угол B = 90°.

Используем отношение:

Подставляем известные значения:

Значения синусов:

Подставляем:

Таким образом, длина стороны AC равна 14 см.

Шаг 4: Нахождение гипотенузы BC

Теперь, используя теорему Пифагора, можно найти длину гипотенузы BC:

Подставляем известные значения:

Ответ:

Длина гипотенузы BC примерно равна 15.65 см.