В треугольнике АВС АС= ВС, высота СН равна 6, косинус угла А равен корень из 10/10. Найти сторону АВ.

В данном задании мы имеем равнобедренный треугольник $ABC$, где $AC = BC$, высота $CH = 6$ и косинус угла $\angle A = \frac{\sqrt{10}}{10}$. Задача заключается в нахождении длины стороны $AB$.

Шаг 1: Введем обозначения и основные данные

Пусть:

• $AB = x$ — это искомая сторона.
• $AC = BC = a$ — длины двух равных сторон треугольника.
• $CH = 6$ — высота, проведенная из вершины $C$ к основанию $AB$.

Известно, что треугольник равнобедренный, поэтому высота $CH$ делит основание $AB$ пополам. То есть, $AH = HB = \frac{x}{2}$.

Шаг 2: Используем косинус угла $\angle A$

Из условия задачи известно, что косинус угла $\angle A$ равен $\cos A = \frac{\sqrt{10}}{10}$.

Из формулы для косинуса в треугольнике:

Подставим известные значения:

Умножим обе части на $a$, чтобы выразить $x$:

Шаг 3: Используем теорему Пифагора для треугольника $AHC$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$, где гипотенуза — это сторона $AC = a$, один катет — это высота $CH = 6$, а другой катет — это половина основания $AB = \frac{x}{2}$.

По теореме Пифагора для треугольника $AHC$:

Подставим известные выражения:

Шаг 4: Подставляем выражение для $x$

Из шага 2 мы знаем, что $x = \frac{a \sqrt{10}}{5}$. Подставим это в уравнение:

Упростим:

Теперь умножим обе части уравнения на 10, чтобы избавиться от дробей:

Переносим все на одну сторону: