В прямоугольный треугольник вписана окружность радиус которой равен 3 см Вычислите периметр треугольника если его гипотенуза равно 20см .

Для того чтобы найти периметр прямоугольного треугольника, в который вписана окружность с радиусом 3 см и гипотенуза которого равна 20 см, можно использовать несколько шагов, основанных на геометрии и формуле для радиуса вписанной окружности.

Шаг 1. Используем формулу радиуса вписанной окружности

Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности $r$ связан с его сторонами (катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$) через следующую формулу:

Где:

• $r$ — радиус вписанной окружности,
• $a$ и $b$ — катеты треугольника,
• $c$ — гипотенуза.

Из условия задачи известно, что $r = 3 \, \text{см}$ и $c = 20 \, \text{см}$. Подставляем эти значения в формулу:

Умножим обе части уравнения на 2:

Теперь решим относительно $a + b$:

Шаг 2. Используем теорему Пифагора

Так как треугольник прямоугольный, для его катетов выполняется теорема Пифагора:

Подставим значение гипотенузы $c = 20 \, \text{см}$:

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $a + b = 26$
2. $a^2 + b^2 = 400$

Шаг 3. Решаем систему

Чтобы найти $a$ и $b$, выразим $a$ через $b$ из первого уравнения:

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

Раскроем скобки:

Теперь подставим это в уравнение:

Преобразуем:

Упростим уравнение:

Вычитаем 400 с обеих сторон:

Разделим все на 2:

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Корни уравнения:

Приблизительно:

Тогда:

Получаем два корня:

Таким образом, катеты $a$ и $b$ примерно равны 18.57 см и 7.43 см.

Шаг 4. Находим периметр

Периметр треугольника $P$ равен сумме всех его сторон:

Итак, периметр треугольника составляет примерно 46 см.