В треугольнике ABC угол C = 135°, AB = 3√2, BC = 3. Найдите углы A и B.

Ответы на вопрос

Отвечает Костина Анита.

В данном случае, нам нужно найти углы треугольника, используя информацию о величинах угла и сторон. Итак, у нас есть треугольник ABC, с уголком C = 135°, длинами сторон: AB = 3√2 и BC = 3. Применим теорему косинусов для решения задачи.

Шаг 1. Применение теоремы косинусов

Теорема косинусов гласит, что для произвольного треугольника с углом α между сторонами b и c выполняется равенство:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha)

где $a$ — это сторона напротив угла α, а b и c — другие стороны.

В нашем случае угол C = 135°, а стороны AB и BC известны. Обозначим стороны:

AB = 3√2
BC = 3
AC — это сторона, которую мы ищем.

Угол C = 135° — это острый угол, поэтому косинус этого угла будет отрицательным. Известно, что:

\cos(135°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}

Подставим значения в формулу для нахождения стороны AC:

(AC)^2 = (AB)^2 + (BC)^2 - 2(AB)(BC) \cdot \cos(135°)

(AC)^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3)^2 - 2(3\sqrt{2})(3) \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)

(AC)^2 = 18 + 9 + 2(3\sqrt{2})(3)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

(AC)^2 = 18 + 9 + 18 = 45

Таким образом:

AC = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}

Шаг 2. Нахождение углов A и B

Теперь, когда мы нашли длину стороны AC, можно найти углы A и B. Для этого снова применим теорему косинусов для каждого угла.

Угол A:

Используем теорему косинусов для угла A:

\cos(A) = \frac{BC^2 + AC^2 - AB^2}{2 \cdot BC \cdot AC}

Подставляем все известные значения:

\cos(A) = \frac{3^2 + (3\sqrt{5})^2 - (3\sqrt{2})^2}{2 \cdot 3 \cdot 3\sqrt{5}}

\cos(A) = \frac{9 + 45 - 18}{18\sqrt{5}} = \frac{36}{18\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}

Таким образом:

A = \cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)

Угол B:

Для угла B также применим теорему косинусов:

\cos(B) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC}

Подставляем известные значения:

\cos(B) = \frac{(3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{5})^2 - 3^2}{2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{5}}

В треугольнике ABC угол C = 135°, AB = 3√2, BC = 3. Найдите углы A и B.

Ответы на вопрос

Шаг 1. Применение теоремы косинусов

Шаг 2. Нахождение углов A и B

Угол A:

Угол B:

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Геометрия

Последние заданные вопросы в категории Геометрия