В прямоугольной трапеции острый угол равен 45°. Меньшая боковая сторона равна 8 см, а большее основание равно 20 см. Вычисли длину меньшего основания.

Для решения задачи начнём с анализа геометрии прямоугольной трапеции. Дано, что один из углов трапеции — острый и равен 45°. Меньшая боковая сторона (перпендикулярная основанию) равна 8 см, а большее основание равно 20 см. Требуется найти длину меньшего основания.

1. Построение и обозначения: Пусть трапеция имеет следующие элементы:

   • $AB$ — большее основание (20 см),
   • $CD$ — меньшее основание, которое нам нужно найти,
   • $AD$ и $BC$ — боковые стороны,
   • угол $\angle DAB = 45^\circ$.

2. Использование свойств прямоугольной трапеции: В трапеции угол между боковой стороной и основанием (в данном случае $\angle DAB$) равен 45°. Это означает, что боковая сторона $AD$ имеет наклон, и если провести перпендикуляр из точки $D$ на основание $AB$, то этот перпендикуляр будет иметь длину, равную 8 см.

3. Проекция боковой стороны на основание: Так как угол $\angle DAB = 45^\circ$, то проекция боковой стороны $AD$ на основание $AB$ будет равна длине самой боковой стороны. То есть, горизонтальная проекция боковой стороны $AD$ будет тоже 8 см.

4. Вычисление длины меньшего основания: Теперь мы можем вычислить длину меньшего основания $CD$. Для этого нужно из большего основания $AB$ вычесть проекцию боковой стороны на основание:

   $$CD = AB - \text{проекция боковой стороны} = 20 \, \text{см} - 8 \, \text{см} = 12 \, \text{см}.$$

Таким образом, длина меньшего основания трапеции составляет 12 см.