В прямоугольном треугольнике острый угол равен 45 градусов, а высота, проведённая к гипотенузе, равна 9 см. Найдите площадь этого треугольника.

Для того чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, в котором один из острых углов равен 45°, а высота, проведенная к гипотенузе, равна 9 см, можно воспользоваться следующими шагами.

1. Основные свойства треугольника:

   У нас прямоугольный треугольник с острым углом 45°. В прямоугольном треугольнике с углами 45°, 45° и 90° катеты равны между собой. То есть, если один катет обозначить через $a$, то второй катет тоже будет равен $a$. Таким образом, гипотенуза $c$ будет равна:

   $$c = a\sqrt{2}$$

2. Формула для площади треугольника через высоту к гипотенузе:

   Площадь прямоугольного треугольника можно выразить через высоту, проведённую к гипотенузе. Если высота к гипотенузе равна $h$, то площадь треугольника $S$ можно найти по формуле:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$$

   где $c$ — длина гипотенузы, а $h$ — высота, проведённая к гипотенузе. Подставим в эту формулу известные данные:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot 9$$

3. Находим гипотенузу:

   Как уже говорилось, в треугольнике с углами 45°, 45° и 90° катеты равны. Следовательно, гипотенуза $c$ связана с катетами так:

   $$c = a\sqrt{2}$$

4. Используем формулу для площади через катеты:

   Площадь прямоугольного треугольника также можно выразить через катеты:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{a^2}{2}$$

5. Используем свойство высоты:

   Высота, проведённая к гипотенузе, делит треугольник на два меньших прямоугольных треугольника, в которых также высота будет относиться к катетам. Из теоремы о высоте прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, известно, что площадь треугольника также может быть выражена через высоту и катеты по формуле:

   $$S = \frac{a^2}{2}$$