В треугольнике АВС угол С=90 градусов, СН-высота,АВ=13, тангенс А=1/5.Найдите АН.

Рассмотрим задачу:

1. Дано:

   • Треугольник $ABC$, где угол $C = 90^\circ$ (прямоугольный треугольник).
   • $CH$ — высота, проведённая к гипотенузе.
   • Гипотенуза $AB = 13$.
   • $\tan A = \frac{1}{5}$.

2. Найти: $AH$ (отрезок гипотенузы).

Решение:

Шаг 1. Разберёмся с тригонометрией

В треугольнике $ABC$, где $\tan A = \frac{1}{5}$, тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета ($BC$) к прилежащему ($AC$):

Значит:

Отсюда следует, что $BC : AC = 1 : 5$.

Чтобы определить длины катетов, обозначим $BC = x$ и $AC = 5x$.

Шаг 2. Используем теорему Пифагора

В прямоугольном треугольнике $ABC$ выполняется теорема Пифагора:

Подставим $AB = 13$, $AC = 5x$, $BC = x$:

Рассчитаем:

Найдём $x^2$:

Следовательно:

Шаг 3. Длина $AH$

Высота $CH$, проведённая из прямого угла к гипотенузе, делит гипотенузу $AB$ на два отрезка: $AH$ и $BH$. Эти отрезки пропорциональны квадратам соответствующих катетов. Формула:

Найдём $AC^2$ и $BC^2$:

Отношение:

Посчитаем:

Значит:

Это означает, что $AH = 25 \cdot BH$.

Шаг 4. Сумма отрезков $AH + BH = AB$

Гипотенуза $AB = 13$. Пусть $BH = x_1$