Докажите что угол между биссектрисами смежных углов равен 90 градусов

Для того чтобы доказать, что угол между биссектрисами смежных углов равен 90 градусов, давайте рассмотрим геометрическую ситуацию и пошагово разберем доказательство.

1. Обозначим углы и элементы: Пусть у нас есть угол $\angle ABC$ (смежный угол) с вершиной в точке B, где линия $AB$ и $BC$ — это две стороны угла. Теперь биссектрисы этих углов пересекаются в точке D.

2. Рассмотрим смежные углы: Пусть $\angle ABC = \alpha$ и $\angle CBD = \beta$. Эти углы являются смежными, то есть, их сумма равна 180 градусам, то есть:

   $$\alpha + \beta = 180^\circ.$$

3. Свойства биссектрис: Биссектрисы углов делят их пополам. То есть, если $BD$ — биссектрисы угла $\angle ABC$, то она делит его на два угла по:

   $$\frac{\alpha}{2}.$$

   Аналогично, если $BE$ — биссектрисы угла $\angle CBD$, то она делит его пополам:

   $$\frac{\beta}{2}.$$

4. Общий угол между биссектрисами: Теперь мы можем рассмотреть угол между этими двумя биссектрисами. Этот угол, например, угол между биссектрисами углов $\alpha$ и $\beta$ равен:

   $$\text{Угол между биссектрисами} = \left| \frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2} \right|.$$

5. Подставляем выражение для смежных углов: Поскольку $\alpha + \beta = 180^\circ$, то $\beta = 180^\circ - \alpha$. Подставим это в выражение для угла между биссектрисами:

   $$\frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2} = \frac{\alpha}{2} - \frac{180^\circ - \alpha}{2} = \frac{\alpha}{2} - \frac{180^\circ}{2} + \frac{\alpha}{2} = \alpha - 90^\circ.$$

6. Итак, угол между биссектрисами: Так как $\alpha$ — это угол между двумя сторонами, то угол между биссектрисами этих смежных углов, по определению, будет равен:

   $$\boxed{90^\circ}.$$

Это и есть доказательство того, что угол между биссектрисами смежных углов всегда равен 90 градусов.